详解DLT直接线性变换算法及代码示例

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了详解DLT直接线性变换算法及代码示例。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方,请大家不吝赐教,您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

0 引言

当涉及到相机标定或姿态估计等时,对极几何、DLTPNP是三个相关但不同的概念和方法:

  1. 对极几何(Epipolar Geometry):
    对极几何是研究两个摄像机之间的关系的几何学理论。它描述了两个视图之间的对应关系,以及在一幅图像中观察到的特征点与另一幅图像中可能的对应点之间的关系。对极几何的关键概念是极线和极点。极线是通过一个摄像机中的点与另一个摄像机的光心之间的直线,而极点是表示极线在另一个视图上的交点。对极几何提供了一种几何约束,用于估计相机之间的相对位置和姿态
    👉 2D-2D对极几何中的基本矩阵、本质矩阵和单应矩阵

  2. DLTDirect Linear Transform):
    DLT是一种基于对极几何原理的方法,用于估计相机的投影矩阵。DLT方法通过已知的三维点和其在图像中的对应点,建立一个线性方程组,并通过求解该方程组来获得相机的投影矩阵。DLT方法只能求解相机的投影矩阵,而无法直接获得相机的位置和姿态

  3. PNPPerspective-n-Point):
    PNP是用于估计相机的位置和姿态的算法。PNP算法通过已知的三维点和其在图像中的对应点,利用相机的内外参数,求解相机的位置和姿态。PNP算法可以使用不同的解法,其中包括DLT方法。DLT方法可以作为PNP算法的一种子问题,用于求解相机的投影矩阵。然后,通过进一步的非线性优化,例如使用迭代算法(如EPnPUPnP等),可以从投影矩阵中恢复相机的位置和姿态

综上所述,对极几何是描述两个摄像机之间关系的几何学理论,DLT是基于对极几何的方法,用于求解相机的投影矩阵,而PNP是用于估计相机位置和姿态的算法。DLT方法可以用于PNP算法的初始解,然后通过进一步的优化方法获得更准确的相机姿态估计结果。

本文主要详细解释DLT直接线性变换算法及代码示例。

1 基本原理

DLTDirect Linear Transform)算法常用于相机标定、三维重建和姿态估计等领域。然而,DLT方法仅提供了相机投影矩阵的初始解,并且没有考虑非线性畸变和误差。为了获得更准确的相机位置和姿态估计,通常需要进行进一步的非线性优化,例如使用PNP算法或其他迭代算法来改善估计结果。

投影矩阵:计算机视觉和计算机图形学中用于描述相机投影过程的一种矩阵表示,用于相机标定、三维重建、姿态估计等任务中。它将三维空间中的点映射到二维图像平面上。在相机投影中,三维点通过相机的内参数(如焦距、主点等)和外参数(相机的位置和姿态)进行投影转换,得到对应的二维图像坐标。投影矩阵通常表示为一个3x4的齐次矩阵,也称为相机矩阵。它由以下部分组成:

  1. 内参数矩阵Intrinsic Matrix):
    内参数矩阵包含相机的内部参数,如焦距、主点坐标等。通常表示为一个3x3的矩阵,也称为相机的内参数矩阵。内参数矩阵定义了相机的几何特性和成像属性。
  2. 外参数矩阵Extrinsic Matrix):
    外参数矩阵描述了相机的位置和姿态。它包含了相机的旋转矩阵和平移向量,用于将世界坐标系中的点转换到相机坐标系中。
    通过将内参数矩阵和外参数矩阵相乘,可以得到投影矩阵。投影矩阵将三维点表示为齐次坐标(四维向量),然后通过齐次除法将其变换为二维图像坐标。

DLT是一种用于估计相机投影矩阵的直接线性变换算法。它是通过已知的三维点和其在图像中的对应点,建立一个线性方程组,并通过求解该方程组来获得相机的投影矩阵。

DLT算法的基本思想是将三维点和其在图像中的对应点转换为齐次坐标,并建立一个线性方程组。每个方程对应一个已知的三维点和其在图像中的对应点,方程的形式如下:

[ x ′ ] = [ P ] [ X ] [x'] = [P] [X] [x]=[P][X]

其中, [ x ′ ] [x'] [x]是已知的二维图像点的齐次坐标, [ P ] [P] [P]是相机的投影矩阵,[X]是已知的三维点的齐次坐标。

通过展开上述方程,可以得到一个线性方程组的形式:

A x = 0 Ax = 0 Ax=0

其中, [ A ] [A] [A]是一个 2 n × 12 2n×12 2n×12的矩阵, [ x ] [x] [x]是相机投影矩阵的展开向量。

2 求解步骤

DLT算法的求解可以通过奇异值分解(SVD)或其他方法来进行。具体步骤如下:

  1. 将三维点(齐次坐标)和对应的二维图像点(齐次坐标)转换为线性方程组的形式,构建矩阵 [ A ] [A] [A]和向量 [ x ] [x] [x]
  2. 使用奇异值分解(SVD)或其他方法,求解上述线性方程组,得到一个近似解 [ x ] [x] [x]
  3. 将近似解 [ x ] [x] [x]重塑为3x4的相机投影矩阵 [ P ] [P] [P]

需要注意的是,由于方程组存在零空间解,因此DLT算法得到的解可能不是唯一的。通常情况下,可以对解进行归一化处理,例如将最后一行除以其模长,以确保投影矩阵的最后一行为[0, 0, 0, 1]

3 代码示例

3.1 借助numpy求解

在下述代码示例中:

首先定义了一个名为dlt的函数,该函数接受三维点集和对应的二维图像点集作为输入,调用np.linalg中的svd函数来求解线性方程,并返回估计的相机投影矩阵。

然后,提供了示例数据points_3dpoints_2d,其中points_3d是三维点的坐标,points_2d是对应的二维图像点的坐标。

最后,调用dlt函数来估计相机投影矩阵,并将结果打印输出。

import numpy as np

def dlt(points_3d, points_2d):
    # 将输入数据转换为齐次坐标形式
    points_3d_hom = np.hstack((points_3d, np.ones((points_3d.shape[0], 1))))
    points_2d_hom = np.hstack((points_2d, np.ones((points_2d.shape[0], 1))))
    
    # 构建线性方程组
    A = []
    for i in range(points_3d_hom.shape[0]):
        X, x = points_3d_hom[i], points_2d_hom[i]
        A.append([
            -X[0], -X[1], -X[2], -1, 0, 0, 0, 0, x[0]*X[0], x[0]*X[1], x[0]*X[2], x[0]
        ])
        A.append([
            0, 0, 0, 0, -X[0], -X[1], -X[2], -1, x[1]*X[0], x[1]*X[1], x[1]*X[2], x[1]
        ])
    
    A = np.array(A)
    
    # 使用奇异值分解(SVD)求解线性方程组
    _, _, V = np.linalg.svd(A)
    P = V[-1].reshape(3, 4)
    
    return P

# 示例数据
points_3d = np.array([
    [0, 0, 0],
    [1, 0, 0],
    [0, 1, 0],
    [1, 1, 0],
    [0, 0, 1],
    [1, 0, 1],
    [0, 1, 1],
    [1, 1, 1]
])

points_2d = np.array([
    [10, 20],
    [20, 20],
    [10, 30],
    [20, 30],
    [15, 15],
    [25, 15],
    [15, 25],
    [25, 25]
])

# 使用DLT算法估计相机投影矩阵
P = dlt(points_3d, points_2d)
print("Estimated Projection Matrix:")
print(P)

运行代码后输出结果为:

Estimated Projection Matrix:
[[ 3.64905183e-01  8.04911693e-16  1.82452591e-01  3.64905183e-01]
 [-2.78423118e-16  3.64905183e-01 -1.82452591e-01  7.29810365e-01]
 [ 1.73472348e-18  4.94396191e-17  1.20129601e-16  3.64905183e-02]]

3.2 借助scipy求解

Scipy是一个通用的科学计算库,其中包含了求解线性方程组的函数,所以下述代码和3.1的代码示例差不多,区别是用scipy.linalgsvd函数来求解线性方程组。

import numpy as np
from scipy.linalg import svd

def dlt(points_3d, points_2d):
    # 将输入数据转换为齐次坐标形式
    points_3d_hom = np.hstack((points_3d, np.ones((points_3d.shape[0], 1))))
    points_2d_hom = np.hstack((points_2d, np.ones((points_2d.shape[0], 1))))

    # 构建线性方程组
    A = []
    for i in range(points_3d_hom.shape[0]):
        X, x = points_3d_hom[i], points_2d_hom[i]
        A.append([
            -X[0], -X[1], -X[2], -1, 0, 0, 0, 0, x[0]*X[0], x[0]*X[1], x[0]*X[2], x[0]
        ])
        A.append([
            0, 0, 0, 0, -X[0], -X[1], -X[2], -1, x[1]*X[0], x[1]*X[1], x[1]*X[2], x[1]
        ])

    A = np.array(A)

    # 使用奇异值分解(SVD)求解线性方程组
    _, _, V = svd(A)
    P = V[-1, :].reshape(3, 4)

    return P

# 示例数据
points_3d = np.array([
    [0, 0, 0],
    [1, 0, 0],
    [0, 1, 0],
    [1, 1, 0],
    [0, 0, 1],
    [1, 0, 1],
    [0, 1, 1],
    [1, 1, 1]
])

points_2d = np.array([
    [10, 20],
    [20, 20],
    [10, 30],
    [20, 30],
    [15, 15],
    [25, 15],
    [15, 25],
    [25, 25]
])

# 使用自定义的DLT函数估计相机投影矩阵
P = dlt(points_3d, points_2d)

print("Estimated Projection Matrix:")
print(P)

运行代码后输出结果为:

Estimated Projection Matrix:
[[ 3.64905183e-01  3.83373888e-16  1.82452591e-01  3.64905183e-01]
 [ 1.27502175e-16  3.64905183e-01 -1.82452591e-01  7.29810365e-01]
 [ 2.08166817e-17  7.28583860e-17  9.62771529e-17  3.64905183e-02]]

当然,也可以直接调用OpenCV库中的相关函数来计算,这里就不展开了,相机标定中已包含。

4 优缺点

DLT算法作为一种直接线性变换算法,具有以下优点和缺点:

优点:

  1. 简单直观:DLT算法的基本原理和实现相对简单,易于理解和实现。
  2. 广泛适用:DLT算法适用于各种相机标定、三维重建和姿态估计等计算机视觉任务,具有广泛的应用范围。
  3. 可扩展性:DLT算法可以用于处理任意数量的三维点和其对应的二维图像点。

缺点:

  1. 线性假设:DLT算法假设相机投影过程是线性的,忽略了非线性畸变和误差。在实际应用中,相机系统通常存在畸变和误差,因此DLT算法的精度有限。
  2. 敏感性:由于方程组存在零空间解,DLT算法对输入数据的噪声和误差敏感。即使输入数据有微小的扰动,也可能导致较大的估计误差。
  3. 缺乏约束:DLT算法本身没有对相机投影矩阵的约束条件进行显式建模,因此可能得到不符合实际几何和成像约束的解。

为了克服DLT算法的缺点,通常需要进行进一步的非线性优化。例如,可以使用迭代算法(如EPnPUPnP等)进行相机位置和姿态的优化,或者结合其他约束条件(如平面约束、角点约束等)来提高估计精度。此外,还可以采用更精确的相机标定方法和优化技术来提高DLT算法的性能。


Reference

  • https://numpy.org/doc/stable/reference/generated/numpy.linalg.svd.html
  • https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.linalg.svd.html
  • 2D-2D对极几何中的基本矩阵、本质矩阵和单应矩阵



⭐️👍👍👍👍👍👍👍👍👍👍👍👍👍👍👍👍👍👍👍👍👍👍👍👍👍👍👍👍👍👍👍👍👍👍👍👍👍👍👍👍👍👍👍👍👍👍🌔文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-860325.html

到了这里,关于详解DLT直接线性变换算法及代码示例的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容,请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章,希望大家以后多多支持TOY模板网!

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处: 如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请点击违法举报进行投诉反馈,一经查实,立即删除!

领支付宝红包 赞助服务器费用

相关文章

  • 贪心算法思想详解+示例代码

    CSDN话题挑战赛第2期 参赛话题:学习笔记 分治思想 贪心算法/贪婪算法 动态规划 动态回溯 分支定界 今天我们来学习贪心算法。 什么是贪心算法,顾名思义,就是你要贪,做题要学会 贪 。 实际上,贪心算法就是 把大的问题归纳成小问题 ,然后得到解决的思想,贪心算法是

    2024年02月07日
    浏览(40)
  • 【Python搜索算法】深度优先搜索(DFS)算法原理详解与应用,示例+代码

    目录 1 基本原理 2 DFS算法流程 3 时间复杂度 4 空间复杂度 5 DFS算法应用案例: 5.1 解决路径查找问题  5.2 解决图的连通性问题 5.3  拓扑排序 5.4  在树结构中进行深度遍历 深度优先搜索(DFS)是一种重要的图遍历算法,用于探索图中的节点和边。 DFS 是一种递归或栈(堆栈)

    2024年02月06日
    浏览(60)
  • 【Python搜索算法】广度优先搜索(BFS)算法原理详解与应用,示例+代码

    目录 1 广度优先搜索     2 应用示例 2.1 迷宫路径搜索 2.2 社交网络中的关系度排序 2.3 查找连通区域         广度优先搜索(Breadth-First Search,BFS)是一种图遍历算法,用于系统地遍历或搜索图(或树)中的所有节点。BFS的核心思想是从起始节点开始,首先访问其所有相

    2024年02月08日
    浏览(45)
  • Matlab数学建模算法详解之混合整数线性规划 (MILP) 算法(附完整实现代码)

    🔗 运行环境:Matlab 🚩 撰写作者:左手の明天 🥇 精选专栏:《python》 🔥  推荐专栏:《算法研究》 ####  防伪水印—— 左手の明天 #### 💗 大家好🤗🤗🤗,我是 左手の明天 !好久不见💗 💗今天分享matlab数学建模算法—— 混合整数线性规划 (MILP) 算法 💗

    2024年02月04日
    浏览(48)
  • 详解一致性hash算法(Consistent-hashing):原理、图解、代码示例

    Consistent hashing is a scheme that provides hash table functionality in a way that the addition or removal of one slot does not significantly change the mapping of keys to slots. Hash算法是一种将任意长度的消息压缩到一个固定长度的输出(即哈希值)的算法。它主要用于数据完整性校验、数据加密、数字签名等方面

    2024年02月07日
    浏览(44)
  • 【100天精通Python】Day73:python机器学习入门算法详解与代码示例

    目录 1. 监督学习算法: 1.1 线性回归(Linear Regression): 1.2  逻辑回归(Logistic Regression): 1.3 决策树(Decision Tree): 1.4 支持向量机(Support Vector Machine): 1.5 随机森林(Random Forest):  2. 无监督学习算法:  2.1 聚类算法(Clustering): 2.2 主成分分析(PCA): 2.3 K均值聚

    2024年02月05日
    浏览(63)
  • 线性代数之矩阵秩的求法与示例详解

    线性代数之矩阵秩的求法 在m×n的矩阵A中,任取k行、k列(k小于等于m、k小于等于n),位于这些行和列交叉处的 个元素,在不改变原有次序的情况下组成的矩阵叫做矩阵A的k阶子式。 不难发现矩阵A有个 个k阶子式。  比如有矩阵A 比如取第1行,第3行,第1列,第4列交叉上的元素

    2024年02月04日
    浏览(56)
  • RANSAC算法在Python中的实现与应用探索:线性拟合与平面拟合示例

    第一部分:RANSAC算法与其应用 在我们的日常生活和多个领域中,如机器学习,计算机视觉,模式识别等,处理数据是一个非常重要的任务。尤其是当我们需要从嘈杂的数据中获取信息或拟合模型时。有时候,数据可能包含异常值或噪声,这可能会对我们的结果产生重大影响。

    2024年02月13日
    浏览(40)
  • 【算法】最直接的算法——穷举法详解

    穷举法又称为枚举法或者蛮力法,是一种简单直接解决问题的方法,常常是基于问题的直接描述去编写程序,比如说求n的阶乘,那么就直接一个循环n次的for循环。 穷举法依赖的基本技术是遍历,也就是采用一定策略依次处理待求解问题的所有元素。对于穷举法自身的优化,

    2024年02月08日
    浏览(34)
  • C语言--直接插入排序【排序算法|图文详解】

    直接插入排序又叫简单插入排序,是一种 简单直观 的排序算法,它通过构建有序序列,对于未排序的数据,在已排序序列中从后向前扫描,找到相应位置并插入。 算法描述: 假设要排序的列表为arr,列表的第一个元素arr[0]默认已经是有序序列。 从第二个元素开始,即arr[

    2024年01月19日
    浏览(43)

觉得文章有用就打赏一下文章作者

支付宝扫一扫打赏

博客赞助

微信扫一扫打赏

请作者喝杯咖啡吧~博客赞助

支付宝扫一扫领取红包,优惠每天领

二维码1

领取红包

二维码2

领红包